Нинул Анатолий Сергеевич - Русскоязычный веб-сайт https://NinulAS.narod.ru
Large English version of this web-site has the inet-address: https://NinulAS.narod.ru/english.html
Very compact English version of this web-site has the inet-address: https://Ninul-eng.narod.ru
Information about the author-himself is displayed on his Russian professional web-site.
You may use these active inet-links, in that number, to all my math-phys books, here to the end.
==========================================================================
The author does not have commercial profits from possible advertising here and from the location here of his mathematical-physical works in their digital forms as p-books and e-books in the indicated fields. His interests are only purely scientific! All these books with contents of this site are situated as in the public domain.
==========================================================================
Автор не имеет каких-либо коммерческих доходов от возможной здесь рекламы и от экспозиции здесь его физико-математических работ в цифровом виде как p-books и e-books в указанных областях. Его интересы только чисто научные! Активные инет-ссылки для прямого доступа к любой из этих книгам даны в конце.
==========================================================================
В случае рекламы на сайте, можно или немного подождать её закрытия или скачать веб страницу, например, как mht file и читать её спокойно и без помех, лучше отключив Internet или трансформируя mht file в pdf), но не забывая, что на веб-сайт также действует копирайт автора, и, при использовании его содержания, ссылки на эту веб-страницу и на монографии обязательны! (Веб-сайт периодически совершенствуется автором с обновлениями -- при его жизни.)
==========================================================================
На данном веб-сайте могут обсуждаться вопросы, относящиеся к ряду разделов математики, теоретической физики и математической химии из нижеуказанных областей. Для автора представляет особый интерес любые мнения, замечания и предложения по содержанию 4-х его опубликованных научных монографий на русском и английском и данного веб-сайта. А именно:
1. Монография: Нинул А. С. "Тензорная тригонометрия. Теория и приложения." с изложением этого нового предмета математики и с изучением ряда фундаментальных вопросов и проблем алгебры, геометрии и теоретической физики вышла в свет в ведущем российском научном издательстве "МИР" (Москва) в октябре 2004г. Отметим, что в предваряющей Части I, наряду со многими другими интересными новинками, попутно даются элегантные (только в одну строку) доказательства теоремы Гамильтона--Кэли для характеристического многочлена матрицы и теоремы Кронекера--Капелли для линейного алгебраического уравнения.
2. К концу 2020г. мною была подготовлена обновлённая английская версия этой монографии, как 2-е издание, и в январе 2021г. российское научное издательство "ФИЗМАТЛИТ" (Москва) её опубликовало как монографию Ninul A. S. "Tensor Trigonometry", где, в частности, в последней гл.10А было выполнено более полное изучение дифференциальной тригонометрии мировых линий в пространстве-времени Минковского с сопутствующими им гиперболоидами II и I.
3. В 2024г. мною была подготовлена последняя авторская, значительно обновлённая и дополненная версия монографии Ninul A. S. "Tensor Trigonometry", как её 3-е издание, и в конце 2024г российское научное издательство "ФИЗМАТКНИГА" (Москва) её опубликовало в бумажной и электронной тождественных версиях со своими ISBN и DOI, где, в частности, в гл.7А для ангулярных отклонений Гарриота (положительной) и Ламберта (отрицательной) в обеих неевклидовых геометриях и для прецессии Томаса в СТО была выявлена наиболее краткая и ясная косинусная формула; в гл.3А-7А и 9А были даны ясные тригонометрические объяснения всех хорошо известных и новых релятивистских эффектов с их также ясной физической сущностью, -- именно в пространстве-времени Минковского (вещественно-определённом) и Пуанкаре (комплексно-определённом), в том числе, в гравитационном поле и в поле Хиггса; а в последней гл.10А было выполнено и закончено изучение дифференциальной тригонометрии мировых линий в 3-х и 4-х мерном пространстве-времени Минковского с кинематикой и динамикой и параллельно регулярных кривых в 3-х и 4-х мерном квазиевклидовом пространстве со своей реперной осью для отсчёта угловых ротаций и движений.
4. Книга: А. С. Нинул "Оптимизация целевых функций: Аналитика. Численные методы. Планирование эксперимента." вышла в свет в российском научном издательстве "ФИЗМАТЛИТ" (Москва) в мае 2009г. В ней в логичном порядке рассмотрены все функциональные методы поиска и идентификации экстремумов эволюционных целевых функций на основе их последовательного генезиса (вплоть до математического программирования) с заполнением имеющихся в литературе по оптимизации "белых пятен". В ней также завершено исследование ряда проблем, рассмотренных ранее в книге "Тензорная тригонометрия". Так, например, в гл.4 выведено полное и по сути экстремальное требование к коэффициентам вещественного алгебраического уравнения степени n для вещественности, в т.ч. положительности, всех его корней, что есть решение задачи, поставленной великим Декартом и частично решённой им же. В гл.1 попутно для любой степени n решена задача о связи производных аналитических функций y(x) и x(y), или, что эквивалентно, задача о связи коэффициентов прямого и обратного аналитических рядов для этих функций, поставленной и решённой для n=1 и n=2 великим Ньютоном. Есть новые полезные факты об алгебраических и функциональных многочленах.
==========================================================================
В конце последние монографии содержат собственные "Физико-математические Кунсткамеры", которые включают ряд вопросов и задач, связанных с проблемами, обсуждаемыми в этих книгах (матанализ, алгебра, геометрия, физика).
==========================================================================
В бумажной форме эти книги, не имея их, возможно посмотреть в больших научных библиотеках - российских и зарубежных. Например, первая книга "Тензорная тригонометрия. Теория и приложения." – М.: МИР, 2004 – представлена в Евросоюзе в наиболее известной европейской математической библиотеке Zentral Universitätsbibliothek Göttingen как монография "Tenzornaja Trigonometrija - teorija i prilozenija." – Ninul A. S. (Moscow, Mir, 2004)
по ссылке.
В цифровой форме эти книги в виде их авторских pdf файлов представлены, например, на главных российских электронных ресурсах Elibrary.ru и Rusneb.ru, в ЭБ Мехмата МГУ (Геометрия и Оптимизация) и в других научных электронных библиотеках России и СНГ, а также в Google books, Internet Archive с Open Library, English E-books Directory (Tensor Analysis) и т.д.
На этом сайте представлены электронные файлы указанных монографий. Но если что-то в их содержании или доказательствах кому-то не совсем понятно, то лучше обратиться непосредственно к автору этих книг на указанный внизу e-mail, пока автор не окончил свой земной путь. Некоторые файлы книг могут экспонироваться с исправлением замеченных опечаток и небольших неточностей, которые при наборе больших работ без помощников, к сожалению, почти неизбежны.
==========================================================================
Далее приведены некоторые результаты исследований автора, фигурирующие в указанных монографиях, а также области его особых интересов в точных науках.
1. Алгебра и теория точных матриц.
- Генеральное неравенство для всех средних величин из заданного множества положительных чисел;
- вещественное алгебраическое уравнение степени n, необходимые и достаточные условия, предъявляемые к его коэффициентам для вещественности (в частности, положительности) всех корней;
- предельные метод и формулы для последовательного вычисления корней вещественного алгебраического уравнения степени n или собственных значений nxn-матрицы в случае их положительности;
- скалярные и матричные характеристические коэффициенты nxn-матрицы; их полная структура, свойства и применения в Алгебре, Геометрии и в разработке Тензорной Тригонометрии.
- Скалярные характеристические коэффициенты nxn-матрицы B были открыты и изучены суперзнаменитым Урбеном Леверье в первой половине 19-го века с космическим применением в чисто математическом открытии им планеты Нептун. Они же образуют коэффициенты характеристического алгебраического уравнения матрицы В степени n с точностью до знаков.
- Матричные характеристические коэффициенты nxn-матрицы B появились в середине 20-го века у знаменитого математика Жана-Мари Сурьё в его статье "Une méthode pour la décomposition spectrale et l'inversion des matrices.", опубликованной в журнале "Сообщения Французской Академии наук". А именно, для того чтобы обратить несингулярную матрицу B, используя только её скалярные и матричные характеристические коэффициенты, Ж.-М. Сурьё предложил в 1948г очень элегантный алгоритм с параллельным вычислением всех скалярных и матричных характеристических коэффициентов порядка t ≥ 1. Заметим, что Ж.-М. Сурьё являлся математиком, механиком и физиком с очень широким спектром научных работ, и более всего он прославился как один из пионеров Симплектической Геометрии! Но год спустя, в 1949 году, академический AMS опубликовал такую же статью, однако теперь на английском языке и под именем другого, но своего национального автора, который в остальном в науке более ничем неизвестен. И именно эта статья стала широко цитируемой в США, тогда как оригинальная статья Жана-Мари Сурьё оставалась без внимания!!! Разумеется, мы цитируем только оригинальную статью Ж.-М. Сурьё, так как наука должна быть чистой и свободной от любого национализма и плагиаризма!
- Однако структура и свойства обоих матричных характеристических коэффициентов для nxn-матрицы B оставались ещё неизвестными. Их структуры с дополнительными свойствами всех коэффициентов, включая 1-й и 2-й рок и, как следствие, три главных парааметра сингулярности матрицы B, были установлены настоящим автором в 1981г для сингулярной матрицы B. На первом этапе, в рамках совершенствования Теории Точных Матриц, автор применил эти результаты, введя её важные понятия нуль-простой, нуль-нормальной и нуль-дефектной матриц, далее вычислил структуры собственных проекторов для сингулярной матрицы B, вывел структурную формулу для классической вещественной и комплексной квазиобратной матрицы Мура-Пенроуза через элементы исходной матрицы и дополнительно получил её изящную предельную формулу! Однако при попытке опубликовать всё это новое в советских математических журналах Академии наук СССР, подобно тому, как Жан-Мари Сурьё сделал это со своими результатами в этой области в журнале Академии наук Франции (и даже “автор“ академического AMS выше), все советские академические журналы дружно и последовательно отказали в публикации статей неизвестного им автора с презентацией полученных им новых результатов -- без каких-либо замечаний в их рецензиях к корректности полученных результатов. Первый рецензент даже не удержался и включил мою предельную формулу для квазиобратной матрицы Мура-Пенроуза в свой готовящийся учебник по Линейной Алгебре (где эта моя формула оказалась совсем не к месту, но зато красивая). Чтобы закамуфлировать этот факт, он продержал мою первую небольшую статью у себя 2 года! Плагиат моих неопубликованных результатов продолжился и далее, и опять, даже на уровне докторов наук! (Хотя экземпляры этих статей, которые не были приняты к публикации в то время, находились и находятся в домашнем архиве автора. Но эти статьи гуляли несколько лет по столам неторопливых и равнодушных назначенных рецензентов.) Как видно из моей монографии “Тензорная Тригонометрия”, все эти скалярные и матричные характеристические коэффициенты nxn-матрицы B с их структурами и свойствами стали существенной генерирующей частью для последующего корректного и последовательного развития предмета, названного автором как “Тензорная Тригонометрия” (с использованием также дополненной автором Теории Точных Матриц), который, наконец, вышел в Издательстве “МИР” в октябре 2004 благодаря блестящей рецензии знаменитого и энциклопедически разностороннего математика Михаила Михайловича Постникова -- профессора МГУ и МИАН! Вот такие сюрпризы ждут неизвестных авторов, дерзающих в математике.
- Фундаментальные соотношения для основных параметров сингулярности nxn-матрицы B и явная форма её минимального аннулирующего многочлена; они полезны для теоретического анализа и корректного применения сингулярной матрицы B, а также для формирования параметров её жордановой формы с рядом неравенств для них;
- нуль-простые и нуль-нормальные сингулярные nxn-матрицы, их определения и свойства;
- аффинные и ортогональные (сферически и гиперболически) квазиобратные матрицы и собственные проекторы, т.е. 8 - для вещественных и 12 - для комплексных nxn-матриц, 4 - для вещественных и 6 - для комплексных nxm-матриц, Таблица умножения всех собственных проекторов матрицы;
- аффинные и ортогональные (сферически и гиперболически) собственные рефлекторы и, очевидно, с их собственными значениями -1 и +1;
- квадратичные геометрические нормы для nxn-, nxm- и nxr-матриц (включая иерархические нормы);
- тригонометрическая природа коммутативности и антикоммутативности простых nxn-матриц;
- тригонометрические матричные спектры для nxn-матрицы B; косинусное и синусное генеральные неравенства для nxn-матрицы B и для nxr-линеоров A, как генерализации классических алгебраических неравенств Коши и Адамара для векторов и вектор-столбцов;
- адекватная, эрмитова и симбиотическая комплексификации математических понятий.
2. Тензорная Тригонометрия: евклидова и антиевклидова, квазиевклидова и псевдоевклидова, соответственно в евклидовом и антиевклидовом, квазиевклидовом и псевдоевклидовом k-размерных пространствах (k>1); последние два есть прямые ортогональные суммы как бинарные пространства с размерностью k=n+q>1, где q – индекс бинарного пространства.
- Срединный рефлектор бинарного тензорного угла между двумя линейными объектами в евклидовом или антиевклидовом пространстве; он же как прародитель задаваемого рефлектор тензора и метрического тензора индекса “q” для любых бинарных пространств в целом.
- Тензорная Тригонометрия в генеральных квазиевклидовых и псевдоевклидовых бинарных пространствах с их субразмерностями n, q и с заданным генеральным рефлектор и метрическим тензором бинарного пространства.
- Тензорная Тригонометрия в генеральных квазиевклидовых и псевдоевклидовых бинарных пространствах в её элементарных формах при q=1 или n=1.
- Простейшие варианты (k=2) при n=2, q=0 или n=0, q=2 (не бинарные) и при n=q=1 (бинарный) соответствуют скалярной и тензорной тригонометриям на вещественной или мнимой плоскости, квазиплоскости или псевдоплоскости, включая два последних на таких же собственных плоскостях в ортогональных моно-бинарных разложениях тригонометрических тензоров – см. в гл.5 и 6.
- Выявленная бивалентная тензорная природа любых углов проективного и моторного типов между двумя линейными геометрическими объектами (векторами, линеорами, прямыми, плоскостями, гиперплоскостями в линейном пространстве – метрическом или аффинном), а также тригонометрических функций этих углов, рефлексий и ротаций этих объектов (сферических, квазиевклидовых, гиперболических, псевдоевклидовых).
- Бивалентные проективные и моторные главные тензорные углы (сферические Ф и гиперболические Г) и их тензорные тригонометрические функции;
- моторный угол θ ортосферических ротаций Rot θ (элементарных rot θ) в евклидовом и/или антиевклидовом подпространствах бинарного пространства;
- простейший единичный диагональный рефлектор тензор, предустанавливаемый для простейших линейных квазиевклидовых и псевдоевклидовых бинарных пространств; где n – количество его собственных значений +1, q – количество его собственных значений -1 (как для любого рефлектора);
- общий симметричный рефлектор тензор, предустанавливаемый для линейных квазиевклидовых и псевдоевклидовых бинарных пространств, связанный с этим простейшим единичным диагональным рефлектор тензором сферической ротацией и/или ортосферической (евклидовой) ротацией (т.е., без изменений ориентаций осей базиса);
- две естественные квадратичные метрики в линейных метрических пространствах: евклидова и псевдоевклидова; их прародитель суть теорема Пифагора – квазиевклидова и псевдоевклидова;
- соответствия между рефлектор тензором и метрическим тензором в двух метрических бинарных пространствах – квазиевклидовом и псевдоевклидовом;
- рефлектор тензор, метрический тензор и тип квадратичной метрики, как понятия для корректного определения бинарных метрических пространств; ориентационная роль рефлектор тензора для любых бинарных пространств, но только в элементарных вариантах, т.е., при q=1 или n=1;
- аффинные бинарные пространства с их аффинной Тензорной Тригонометрией без любых метрик для расстояний и углов, но сохраняющие отношения параллельности.
- В квазиевклидовых бинарных пространствах, определяется централизованный (в E_1) тригонометрические объекты как Специальный “тригонометрический гиперсфероид” с его радиус-параметром R=1, и, в частности, как ориентированный при q=1 в направлении реперной оси y.
- В псевдоевклидовых бинарных пространствах, определяется централизованные (в E_1) тригонометрические объекты как “тригонометрические гиперболоиды II and I” Минковского с их радиус-параметром R=1, и, в частности, как ориентированные при q=1 в направлении реперной оси y.
- Бивалентные ортогональные и косогональные тензоры рефлексий (т.е. рефлекторы) одного линейного объекта в другой отражённый линейный объект в бинарных пространствах, в том числе, элементарные при q=1 в их канонических тензорных формах в универсальном (тригонометрическом) базисе E_1;
- бивалентные ортогональные тензоры ротаций (т.е., роторы) одного линейного объекта в другой повёрнутый линейный объект в бинарных пространствах в том числе, элементарные при q=1 в их канонических тензорных формах в универсальном (тригонометрическом) базисе E_1 (эти ротации изоморфны непрерывным ангулярным движениям по их Специальным тригонометрическим объектам выше);
- бивалентные косогональные тензоры деформаций одного линейного объекта в другой деформированный линейный объект в бинарных пространствах, в том числе, элементарные при q=1 в их канонических тензорных формах в универсальном (тригонометрическом) базисе E_1;
- неколлинеарные и коллинеарные (at e_α=const) двухступенчатые и многоступенчатые элементарные рефлексии-движения (прерывные), ротации-движения (непрерывные) и деформации (непрерывные); Правила и законы суммирования движений – гл.5, 6, 11, 7А, 8А, 10А
- бивалентные ортогональные тензоры допустимых квазиевклидовых или псевдоевклидовых ротаций в их элементарных канонических формах при q=1 в E_1, с моторными главными углами (сферическим Ф или гиперболическим Г) и с их вектором направляющих косинусов e_α в евклидовом подпространстве, в том числе, как изоморфных ангулярных движений при R=1 или с фактор-параметром R на Специальном ориентированном гиперсфероиде и на ориентированных гиперболоидах II и I Минковского;
- бивалентные косогональные тензоры допустимых квазиевклидовых или псевдоевклидовых деформаций в их элементарных канонических формах при q=1 в E_1, с моторными главными углами (сферическим Ф или гиперболическим Г) и с их вектором направляющих косинусов e_α в евклидовом подпространстве;
- как пример в СТР (см. далее), элементарная чисто гиперболическая ротация roth Г, вызывающая реальное релятивистское растяжение шкалы стрелы-времени ct_m Минковского в базисе E_m движущегося объекта, по отношению к базису E_1 (в СТР базис покоя) – см. в гл.1А и 3А, и, соответственно, уменьшение собственного времени в E_m;
- как пример в СТР (см. далее), элементарная чисто гиперболическая деформация defh Г, вызывающая для движущегося объекта с базисом E_m его кажущееся релятивистское сокращение Лоренца в универсальном базисе E_1 (в СТР базис покоя) – см. в гл.1А и 4А;
- тензоры главных сферических или гиперболических ротаций (движений) в их элементарных канонических формах при q=1 в E_1 с их постоянным единичным вектором направляющих косинусов e_α – для описаний только главных сферических или гиперболических ротаций, или как изоморфных главных ангулярных движений с фактор-параметром R на Специальном ориентированном гиперсфероиде или на ориентированных гиперболоидах II и I Минковского;
- тензор боковых ортосферических ротаций в его элементарной канонической форме при q=1 в E_1 с постоянными главными сферическим или гиперболическим тензорным углом (как наклон в E_1) – для описаний винтовых и псевдовинтовых ротаций (движений), в том числе, как вещественных или мнимых ортосферических ангулярных движений с фактор-параметром R на Специальном ориентированном квазигиперцилиндре или псевдогиперцилиндре радиуса R; этот Специальный гиперцилиндр является касательным к экватору гиперсфероида и к экватору гиперболоида II (как мнимому) или I (как вещественному);
- ортогональный тензор ортосферических ротаций Rot θ (как элементарный rot θ) для квазиевклидовых и псевдоевклидовых бинарных пространств, действующие в евклидовом подпространстве размерности “n>1” или/и в антиевклидовом подпространстве размерности “q>1” под сферическим или гиперболическим наклоном в E_1 и под действием заданного рефлектор тензора бинарного пространства с теми же n и q;
- независимый ортогональный тензор ортосферических ротаций Rot θ (как элементарный rot θ в его канонической форме при q=1в E_1), действующий только в евклидовых и антиевклидовых подпространствах этих бинарных пространств, как независимо или как индуцированный в полярных разложениях тензоров генеральных или суммарных неколлинеарных ротаций (движений); угол θ или dθ есть или евклидова ротация-сдвиг исходного базиса E_1 (как пассивная точка зрения) или евклидова ротация-сдвиг объекта в исходном базисе E_1 (как активная точка зрения);
- полярное разложение в исходном базисе E_1 тензоров генеральных или суммарных неколлинеарных квазиевклидовых и псевдоевклидовых ротаций (движений) на тензор главной ротации (движения) и тензор боковой ортосферической ротации – см. в гл.11, 7А и 8А;
- ортогональные и косогональные бивалентные тензоры рефлексий с их проективными главными тензорными углами (сферическим или гиперболическим) в общих и элементарных формах (при q=1) в E_1 под действием заданного рефлектор тензора бинарного пространства;
- изначальная генерация бивалентных ортогональных или косогональных тензоров рефлексий с их проективными главными тензорными углами (сферическим или гиперболическим) через разность комплементарных собственных ортогональных или косогональных проекторов для заданной сингулярной нуль-нормальной или нуль-простой матрицы (с её собственными линейными подпространствами) – все эти матрицы даны в их канонических формах и в общем тригонометрическом базисе E_1 (см. в гл.5 и 6);
- изначальная генерация бивалентных ортогональных или косогональных тензоров ротаций или деформаций (с их моторными главными тензорными углами – сферическим или гиперболическим) через двойное применение пары ортогональных или косогональных тензоров рефлексий (с проективными главными тензорными углами – сферическим или гиперболическим) и последующим извлечением тригонометрического корня из полученного произведения в том тригонометрическом базисе E_1 – см. в гл.5 и 6.
- Некоммутативная Специальная группа допустимых квазиевклидовых ротаций (непрерывных движений) из сферических и ортосферических ротаций, введённая автором в гл.5 и 6, соответствующих предустановленному рефлектор тензору бинарного пространства и его евклидовой квадратичной метрике.
- Некоммутативная группа Лоренца (введённая Пуанкаре) допустимых псевдоевклидовых ротаций (непрерывных движений) из гиперболических и ортосферических ротаций, соответствующих предустановленному рефлектор тензору бинарного пространства и его псевдоевклидовой квадратичной метрике.
Корректные и точные определения обеих указанных групп с их бинарными пространствами совместно рассмотрено автором в гл.6.
- Некоммутативная подгруппа допустимых ортосферических боковых ротаций, как пересечение этих двух групп в любом универсальном базисе (в СТО базисы покоя), но действующая в евклидовом подпространстве размерности “n>1” и/или в антиевклидовом пространстве размерности “q>1” под действием заданного рефлектор тензора бинарных пространств с теми же n и q – гл.6.
- Специальный Квартовый круг, замкнутый из всех тензорных ротаций и деформаций в общей и элементарной форме матриц; – все они в канонических формах в универсальном тригонометрическом базисе и соответствующие друг другу или по абстрактной сферической-гиперболической аналогии, или по конкретной синус-тангенсной аналогии – см. в гл.6 и 12;
- абстрактная сферическо-гиперболическая аналогия: прямая ф=+iγ и обратная γ=-iф, корректная в любых допустимых вещественных и комплексных базисах;
- конкретные сферическо-гиперболические аналогии: прямая γ(ф) и обратная ф(γ), корректные только в вещественных универсальных базисах (в СТО базисы покоя);
- тригонометрическое тангенсное тождество, определяющее бесконечное множество разнообразных конкретных сферическо-гиперболических аналогий γ(ф) и ф(γ), корректные тоже только в универсальных базисах;
- для развития Тензорной Тригонометрии и её некоторых многочисленных применений (например, для более простого вывода ряда её формул и теорем с их ясной интерпретацией, а также для построений изоморфных проективных тригонометрических моделей неевклидовых геометрий), мы используем, главным образом, абстрактную аналогию выше и наиболее полезные конкретные сферическо-гиперболические аналогии ниже:
- основная с обратной ей специфическая синусно-тангенсная аналогия γ(ф) и ф(γ), определяемая через тождество sinhγ=tanф и только (!) в универсальных базисах – обычно в E_1 (в СТР базисы покоя); в литературе эта аналогия может именоваться также как Ламбертиан (но как Гудерманниан в Функциональном анализе на аффинной плоскости в её любом базисе);
- комплементарная с обратной ей конкретная синусно-котангенсная аналогия γ(ξ)=γ(π/2-ф) и ξ(γ), определяемая через тождество sinhγ=cotξ (где очевидно равенство cotξ=tanф) и только (!) в универсальных базисах – обычно в E_1 (в СТР базисы покоя);
- специальная с обратной ей конкретная тангенс-тангенсная аналогия γ(ф_r) и ф_r(γ), определяемая через тождество tanhγ=tanф_r и тоже только в универсальных базисах – обычно в E_1 (в СТР базисы покоя – см. в гл.1А); эта аналогия также полезна для тригонометрического проективного представления стереографических моделей неевклидовых геометрий;
- обе конкретные аналогии выше применимы для простых геометрических операций дупликации и бисекции гиперболического угла γ (гл.6);
- для комплементарного гиперболического угла υ(γ) мы имеем те же конкретные аналогии: sinhυ=tanξ and sinhυ=cotф (где очевидно равенство cotф= tanξ);
- одинаковые формулы – прямая υ(γ) и обратная γ(υ), связывающие комплементарные гиперболические углы и дополнительные полезные соотношения для них (разумеется, более сложные, чем для сферических скалярных углов ф(ξ) и ξ(ф));
- ещё более сложные формулы, связывающие тензорные углы U и Г в моторном и проективном виде;
- гиперболический угол или число или трансцендентная константа ω=arsinh1~0,881 как гиперболический аналог числа π/4=arc(tan1)~0,785 (sinhω=tanπ/4=1), а также их представления бесконечными числовыми рядами; геометрически ω соответствует фокусу гиперболы;
- решение псевдоевклидова прямоугольного треугольника на псевдоплоскости и в псевдоевклидовом пространстве;
- псевдоевклидов прямоугольный треугольник – внутренний и внешний: комплементарные углы γ(υ) и υ(γ), бесконечный δ и нулевой составной прямой угол; функциональная связь комплементарных гиперболических углов; применение конкретной синус-тангенсной аналогии для простейшего вывода в универсальном базисе E_1 связи между сферическими и гиперболическими углами на квазиплоскости и псевдоплоскости;
- те же главные углы – сферические и гиперболические, скалярные и тензорные играют роли, с одной стороны, как моторные углы ротаций-движений в квазиевклидовом и псевдоевклидовом бинарных пространствах, в частности, для ротаций в них и для движений с множителем “R” на их неевклидовых криволинейных гиперповерхностях; но, с другой стороны, как проективные углы между линейными объектами в тех же бинарных пространствах и для тензорных рефлексий между этими линейными объектами;
- так, в первом случае, моторные углы продуцируют стороны геометрических фигур с множителем “R” как радиус-параметр криволинейной неевклидовой гиперповерхности и с ортосферическими углами θ_k при их вершинах (с также ортосферическими ангулярными отклонениями, так, для треугольников от суммы π – см. в гл.7А);
- тензорные моторные и проективные углы имеют различие только в их тензорной тригонометрической структуре, даже на плоскости – см. в гл.5 и 6, но скалярные моторные и проективные углы не имеют различия (!).
3. Неевклидовы геометрии постоянного радиуса-параметра R, как +R, -R или +iR, -iR – сферическая геометрия на Специальном ориентированном гиперсфероиде, две сопутствующие -- гиперболическая и гиперболическая-эллиптическая на ориентированных гиперболоидах II и I Минковского, или последние в целом как общая неевклидова геометрия гиперболоидного типа на трёх-листовой гиперболоидной гиперповерхности.
- С точки зрения Тензорной Тригонометрии (действующей в объемлющем бинарном пространстве), сферическая неевклидова геометрия базируется на главном сферическом угле движения в формах Ф и dФ на гиперсфероиде (как всегда, с точностью до множителя R), а также, как исключение, dϑ для чистого винтового движения (как бы на ориентированном гиперцилиндре, касательном к Специальному гиперсфероиду по его экватору); гиперболическая неевклидова геометрия базируется на главном гиперболическом угле движения в формах Г и dГ на гиперболоидах, а также, как исключения, diϑ и dϑ для двух чистых псевдовинтовых движений (как бы на мнимом и вещественном ориентированных гиперцилиндрах, касательных к мнимому и вещественному экваторам гиперболоидов II и I); кроме того, в общем случае главные дифференциальные движения dФ по гиперсфероиду и dГ по гиперболоидам сопровождаются вторичными (в т.ч. индуцированными) ортосферическими евклидовыми ротациями dϑ, под углами-наклонами Ф или Г к евклидову подпространству или к реперной оси;
- антиподальные несвязные получасти гиперболоида II Минковского с их антиподальными геометриями Лобачевского-Больяи с главными углами +Г и -Г;
- инверсия гиперболоидов II и I друг в друга в результате поворота их фронтальных проекций в общих псевдоевклидовых плоскостях на прямой угол П/2 с преобразованием вещественного одного экватора гиперболоида I в мнимый один экватор гиперболоида II, и наоборот;
- аналогичная инверсия для катеноидов II и I и для трактрикоидов II и I с инверсией их метрических форм в их Специальных бинарных квазиевклидовых пространствах – см. в гл. 5А, 6А и ниже;
- иллюстративная несвязная 2-х сторонняя плоская конечная тангенсная модель внутри тригонометрического круга радиуса R=1 геодезических гиперболических движений на гиперболоиде II Минковского и в его гиперболической геометрии Лобачевского-Больяи радиус-параметра R – на основании наших проективных гиперболических формул (125А) и (138А) в гл.7А как Большая Пифагорова теорема (см. её также на рис.4А); их пропорциональная проективная модель Бельтрами-Клейна внутри абсолюта Кэли радиуса R на проективной евклидовой гиперплоскости;
- иллюстративная связная 2-х сторонняя плоская бесконечная котангенсная модель вне тригонометрического круга радиуса R=1 геодезических гиперболических и элипсоидальных движений на гиперболоиде I Минковского и в его гиперболической-эллиптической геометрии радиус-параметра R – на основании наших проективных гиперболических формул (278А) и евклидовой части (269А) в гл.10А как Большая Пифагорова теорема; их пропорциональная бесконечная проективная модель вне абсолюта Кэли радиуса R на проективной евклидовой гиперплоскости;
- иллюстративная связная 2-х сторонняя цилиндрическая конечная тангенсная модель на боковой поверхности гиперцилиндра высотой R=+-1 и c радиусом как тригонометрического круга R=1 геодезических движений на гиперболоиде I Минковского и в его гиперболической-эллиптической геометрии радиус-параметра R -- как та же, но цилиндрическая Большая Пифагорова теорема; этот цилиндр ограничен сверху и снизу 2-х сторонней тангенсной дисковой моделью гиперболоида II (выше);
- единая тангенсная модель в форме цельного цилиндра выше с его боковой поверхностью и его верхним и нижним основаниями-дисками, объединившая их для тригонометрического отображения единой 3-х листного гиперболоидальной гиперповерхности с её единой гиперболоидальной неевклидовой геометрией;
- иллюстративная связная 2-х сторонняя плоская конечная синусная модель внутри тригонометрического круга радиуса R=1, включая его, геодезических главных сферических движений на Специальном гиперсфероиде и в его сферической геометрии радиуса R -- на основании наших проективных сферических формул (190А) и (192А) в гл.8А как Большая Пифагорова теорема; их пропорциональная проективная Специальная модель внутри круга радиуса R, включая его, на проективной евклидовой гиперплоскости; эта плоская конечная синусная модель Специального гиперсфероида c его геометрией, как закрытая и частичная евклидова область, является по сути синус-тангенсным конкретным аналогом (см. выше) плоской конечной тангенсной модели гиперболоида II Минковского с его геометрией, как открытая и полная евклидова область, но с теми же Большими теоремами Пифагора для суммирования движений на евклидовой плоскости (n=2) или подпространстве (n=3) – см. на рис.4А, т.е. они различаются принципиально, как закрытая и открытая модели;
- классики-основатели гиперболической неевклидовой геометрии для вывода её метрических ангулярных формул применяли сферическо-гиперболическую аналогию – абстрактную и специфическую, начиная с работ Ламберта (1786) и Тауринуса (1825), но оба её гиперболических комплементарных угла γ и ξ с их связью можно получить только со специфической аналогией, что реализовал Николай Лобачевский (1829), но начиная с угла ξ, а затем он перешёл и к главному углу γ, т.е. действуя в обратном порядке, что было обусловлено его оригинальным аксиоматическим методом построения новой неевклидовой геометрии в её полной финальной форме;
- сферический угол параллелизма Лобачевского (П=ξ=π/2- φ) -- контравариантный в сферической (локально) и гиперболической геометриях, но в гиперболической геометрии допустимый только в универсальном базисе (обычно Е_1={I}); этот базис также используется при упрощённом выводе в нём метрических ангулярных формул этой геометрии с дальнейшим их распространением на любые допустимые базисы; так, применяя в базисе E_1 специфическую синус-котангенсную аналогию sinhγ=cotξ (см. выше), мы получаем П=ξ=arc[cot(sinhγ)];
- ковариантные углы параллелизма (ф и γ) в сферической (локально) и гиперболической геометриях и также как углы движения с мерой Ламберта в этих геометриях;
- гиперболические и сферические уравнения трактрисы Миндинга только от одного R-фактора на особой квазиевклидовой плоскости и только по отношению к её генерирующей времени подобной гиперболе на псевдоплоскости с тем же фактором R подобия, под действием специфической синус-тангенсной аналогии между гиперболическим и сферическим углами-аргументами движения;
- трактриса как гиперболический аналог сферической кривой «циклоида», но с одним циклом;
- естественные гиперболические-ортосферические уравнения псевдосферы Бельтрами только от одного R-фактора в особом квазиевклидовом пространстве с индексом q=1 и, по отношению к генерирующему однолистному гиперболоиду Минковского, с общим рефлектор тензором их объемлющих псевдоевклидова и особого квазиевклидова пространства и, следовательно, с общими допустимыми ортосферическими ротациями;
- все трактрисы (Гюйгенса и Миндинга) и трактрикоиды (II и I) -- подобные геометрические объекты с одним фактором подобия R (как окружности и сферы, времени и пространству подобные гиперболы и гиперболоиды II и I Минковского, цепные линии двух типов и катеноиды II и I, циклоиды и т.д.).
Отметим, что в главе 6А англоязычного издания тензорной тригонометрии (январь 2021), автором было предложено подразделять поверхности постоянной гауссовой кривизны на “совершенные” и “несовершенные” из принципа: задана ли полная группа движений или она отсутствует. Но, как видно из контекста, с точки зрения объемлющих метрических пространств, первые есть “поверхности постоянного радиуса”, но вторые есть поверхности постоянной кривизны, но не постоянного радиуса. Именно при постоянном радиусе-параметре поверхности геометрические движения и расстояния пропорциональны изменениям угла движения, определяемых исходно ротационной тензорной тригонометрией объемлющего метрического пространства. В первом случае мы имеем полную группу непрерывных движений, состоящую из главных и ортосферических движений относительно рефлектор тензора пространства. Во втором случае, для поверхностей вращения постоянной кривизны, мы имеем только подгруппу ортосферических ротаций, но не имеем полную группу непрерывных движений из-за отсутствия главных ангулярных движений. Отсюда, наш гиперсфероид и гиперболоиды Минковского есть совершенные поверхности постоянной гауссовой кривизны, но псевдосфера Бельтрами – нет. Сфера является таковой, но только при задании рефлектор тензора, определяющего для неё полную группу квазиевклидовых допустимых квазиевклидовых движений: главных сферических и ортосферических. Но тогда она превращается в наш гиперсфероид в объемлющем квазиевклидовом пространстве.
- Одношаговая (one-step) изометрия однолистного гиперболоида I Минковского и гиперпсевдосферы Бельтрами на основе одношаговой конкретной синус-тангенсной аналогии, хотя они имеют постоянную и равную гауссову кривизну и общую топологию.
- Инфинитезимальные теоремы Пифагора -- квазиевклидова и псевдоевклидова на гиперболоидах II и I.
- Суммирование геодезических движений (сегментов) – двухступенчатых и многоступенчатых в неевклидовых геометриях.
- Большая и Малая евклидова Пифагорова теорема с евклидово-ортогональным отображением суммы двух главных движений (отрезков), как протяжённых, и отдельно как с дифференциальным приращением движения, -- коммутативная в евклидовой геометрии и некоммутативная в неевклидовых геометриях из-за побочных ортосферических сдвигов + или -θ, или dθ в векторной форме суммирования.
- Полярное разложение суммы движений (сегментов) – двухступенчатых и многоступенчатых на главное и побочное ортосферическое rot θ (последнее как индуцированная ортосферическая ротация объекта или как ортосферический сдвиг изначального базиса E_1 с его геометрическими объектами).
- Тензор-тригонометрическая ортосферческая интерпретация трёх ангулярных эффектов: (1) ангулярный эксцесс Гарриота в сферической геометрии, (2) ангулярный дефект Ламберта в гиперболической геометрии и (3) побочная боковая ротация rot θ с формулами для неё в полярном разложении выше для двухступенчатых и многоступенчатых главных движений.
- Метрические ангулярные дифференциальные формы абсолютного движения Dф или Dγ с фактор-параметром R на Специальном гиперсфероиде от начального значения Ф или на гиперболоидах II и I Минковского от начального значения Г с радиус-параметром R в виде ортогонального разложения на параллельную и нормальную части (к направлению движения) как Абсолютные и Относительные дифференциальные теоремы Пифагора в их евклидовой и псевдоевклидовой формах – см. в гл. 6А, 7А, 8А и 10А.
- Побочная индуцированная евклидова дифференциальная ортосферическая ротация dθ при неколлинеарном дифференциальном приращении главного движения, и она же во времени как прецессия Томаса.
- Простейшая единая косинусная формула для индуцированных ортосферических дифференциалов dθ в генерации ангулярных отклонений Гарриота и Ламберта и в генерации прецессии Томаса.
- Метрические бинарные криволинейные пространства – квазириманово и псевдориманово, соответственно инфинитезимально квазиевклидово и псевдоевклидово;
- рефлектор-тензор, метрический тензор и риманова метрика как изначальные концепции этих метрических бинарных пространств, ориентационная роль рефлектор тензора, но только в элементарных случаях при q=1 или n=1.
4. Теория Относительности.
- Математический принцип относительности и физико-математический изоморфизм;
- 4D бинарное "аффинно-евклидово" метрическое пространство-время Лагранжа с геометрией и непрерывными преобразованиями V_G Галилея, отображающими для объектов нерелятивистское физическое движение со скоростью tan v (через “параллельные ротации” v) и его вращение со скоростью w=dθ/dt (через ортосферические ротации θ), где v и θ -- ангулярные аргументы (см. в начале гл.1A);
- отсутствие метрической связности в пространстве времени Лагранжа между евклидовым пространством и стрелой времени;
- подгруппа “параллельных ротаций” тензорных V и скалярных v в 4D "аффинно-евклидовом" в пространстве-времени Лагранжа вдоль стрелы времени, как срединных между главными сферическими Ф, φ и гиперболическими Г, ϒ разнонаправленными ротациями относительно реперной оси их бинарных пространств;
- общая подгруппа ортосферических ротаций ϴ и θ как пересечение трёх групп, выраженных в универсальном базисе E_1 (в СТО базисы покоя): т.е. (1) группы квазиевклидовых движений, введённой нами с 2004г в гл.5 и 6, (2) группы Галилея аффинно-евклидовых движений – см. выше и (3) группа Лоренца псевдоевклидовых движений – все три индекса q=1 (гл.5, 6, 1A);
- пионерский естественный переход Пуанкаре в июне 1905 от не полностью метрического вещественного 4D пространства-времени Лагранжа к полностью метрическому однородному и изотропному комплексному 4D пространству-времени Пуанкаре с псевдоевклидовой метрикой, c мнимой стрелой времени ict как ось времени, c непрерывной группой преобразований Лоренца, именованной так Пуанкаре (как 3D ротаций в 4D пространстве-времени, идентичных 3D движениям по его неевклидовым гиперповерхностям – тригонометрическим гиперболоидам Минковского II и I радиус-параметра R=1); либо тождественно тому же в овеществлённом 4D пространстве-времени Минковского с вещественной стрелой времени ct, где "c" – масштабный фактор Пуанкаре к координате времени как скорость света в вакууме;
- 4-скорость Пуанкаре как 4-вектор c=ci_α, где i_α – 4-вектор главной касательной к мировой линии Минковского в 4D пространстве-времени Пуанкаре или Минковского; "c" есть также 4-вектор-радиус сопутствующего гиперболоида II скоростей с его радиусом R=ic в том же пространстве-времени;
- неевклидовы гиперболические тангенсное и синусное отображения координатной v и собственной v* физических скоростей как 3-векторные ортопроекции 4-скорости Пуанкаре "c" на 3D евклидовой проективной гиперплоскости в 4D пространстве-времени Пуанкаре или Минковского; тригонометрические Правила суммирования координатных v и собственных v^* физических скоростей в исходном универсальном базисе E_1 (в СТО базис покоя), но выраженных на евклидовой проективной гиперплоскости, и с поправкой в ней же на индуцированное ортосферическое смещение θ для случая неколлинеарных скоростей, как следствия из генерального Закона суммирования гиперболических движений (ротаций) в его тензорной тригонометрической форме с векторными и скалярными ортопроекциями (гл.7A); соответственно тангенсные проекции "c" отображаются в пределах диска радиуса R=с на евклидовой проективной гиперплоскости, а синусные проекции "c" отображаются на диске бесконечного радиуса на евклидовой проективной гиперплоскости -- в обоих случаях, согласно Большой и Малой теоремам Пифагора, производимым формулами (138А) и (135А) в гл.7А на той же евклидовой гиперплоскости; синусная модель искажена вдоль e_α, тангенсная модель искажена вдоль e_α и e_ν; наша тангенсная модель гиперболической геометрии идентична проективной модели Бельтрами-Клейна, но её тригонометрический вывод предельно прост, и он легко расширяется на суммирование собственных скоростей v^*, что важно для релятивистской космонавтики будущего;
- краткая (в одну строку) простейшая и универсальная тригонометрическая формула для дифференциальных ангулярных ортосферических отклонений +-dθ в геометрических фигурах и в движениях неевклидовых геометрий: (1) как эксцесс Гарриота +dθ в сферической геометрии, (2) как дефект Ламберта -dθ в гиперболической геометрии и в теории относительности (3) как релятивистская отрицательная прецессия Томаса -dθ/dt (как собственная ротация) – все эти эффекты вызваны одной и той же индуцированной ортосферической ротацией +-dθ при суммировании неевклидовых неколлинеарных движений или отрезков (см. в конце гл.7A и в гл.8А);
- внутреннее тангенциальное 4-ускорение как производная по собственному времени ꚍ в направлении 4-вектора главной касательной i_α к мировой линии Минковского: g_a=c’=c(i_α)’=g_α(j_α), где j_α – 4-вектор главной псевдонормали к мировой линии Минковского, внутреннее нормальное 3-ускорение как производная по собственному времени ꚍ в направлении нормальной касательной i_ν к мировой линии Минковского: g_ν=c’= c(i_α)’=g_ν(b_s), где b_s – 3-вектор синусной бинормали к мировой линии Минковского; и генеральное 4-ускорение как полная производная по собственному времени ꚍ в каком-то заданном направлении касательной i_β к мировой линии: g_β=c’= c(i_α)’=g_β(p_β), где p_β is 4-вектор генеральной псевдонормали -- все эти ускорения связаны 4D Абсолютной теоремой Пифагора (в евклидовом варианте) в 4D пространстве-времени Пуанкаре или Минковского (!) как g_β^2=g_α^2+g_ν^2 на гиперболоиде II ускорений, что также пропорционально 1-й метрической форме любой мировой линии в том же пространстве-времени (гл. 10А) и 1-й метрической форме сопутствующего тригонометрического гиперболоида II; Относительные Большая и Малая теоремы Пифагора в евклидовом варианте как ортопроекции этой метрической формы на 3D евклидово подпространство (гл. 7А, 10А);
- γ – мгновенный гиперболический угол релятивистских поступательных физических движений материального объекта или частицы в тензорной, векторной и скалярной интерпретациях; в частности, γ – гиперболический угол главных 3D ротаций в 4D пространстве-времени Минковского, относительной реперной оси, и тождественных главных 3D движений на его неевклидовых гиперповерхностях -- гиперболоидах Минковского II и I; iγ – тот же, но псевдосферический угол в комплексном квазиевклидовом пространстве-времени Пуанкаре;
- dγ и diγ – гиперболические и псевдосферические дифференциалы главных ротаций (движений) в пространстве-времени Пуанкаре и Минковского вдоль мировой линии или на сопутствующих гиперболоидах Минковского (гл.10А); они пропорциональны физически дифференциалу потенциала как dP/c^2= gdl/c^2 – либо ускорительному, либо гравитационному;
- dα и diα (dθ и diθ) – ортосферические и ортопсевдогиперболические дифференциалы вторичных боковых ротаций как "параллельные циклы" в бинарных пространствах и в пространстве-времени Пуанкаре и Минковского вдоль мировой линии или на сопутствующих тригонометрических гиперболоидах Минковского; или как главные, но ортосферические дифференциалы псевдовинтовых движений – времени и пространству подобных (гл.10А);
- тригонометрические тензоры от этих углов-аргументов: ортогональный тензор релятивистских ротаций (движений) и косогональный тензор релятивистской деформации; (последний действует одношагово и только в универсальном базисе Е_1, например, в релятивистском эффекте "сферическая ротация Террела-Пенроуза при сокращении Лоренца" (гл.4А);
- тензорно-тригонометрические интерпретации двух очень известных релятивистских эффектов: реальное расширение шкалы времени Минковского, приводящее к замедлению собственного времени, как следствие гиперболического ротационного преобразования, и кажущееся сокращение протяжённости Лоренца, как следствие гиперболического деформационного преобразования;
- сопутствующие релятивистские эффекты, приводящие к суперскоростям синусного, косинусного, котангенсного и косекансного типов с их инвариантами.
- Дискретный характер хорошо известного релятивистского эффекта “Влияние скорости v = с tanhγ или v^*=c sinhγ движущейся системы E_m относительно покоящейся системы Е_1 на замедление в E_m собственного времени”; в СТР этот эффект проявляется в результате преобразований Лоренца, например из Е_1 в Е_m, и выражается через скорость v (или v^*) как:
cosh^2γ=(dct/dcτ)^2=1/sech^2γ=1/(1-tanh^2γ)=1/[1-(v/c)^2]=1+sinh^2γ=1+(v^*/c)^2;
причём первая формула одношаговая, как и тангенсное кросс-проецирование, а вторая формула многошаговая, как и синусное ортопроецирование.
- Действие внутреннего ускорения g_a и эквивалентного ему (только математически) напряжённости гравитационного поля g_f как первопричина замедления собственного времени на дифференциальном уровне dcτ в базисе E_m в сравнении с первым дифференциалом координатного времени dct в базисе Е_1, как при их отдельном действии, так и при их совместном независимом действии (кинематическом и гравитационном); последний факт при свободном релятивистском движении объекта приводит к удвоению косинусного замедления собственного времени coshγ=dct/dcτ при g_a=g_f;
- тригонометрически эквивалентная дифференциальная и интегральная косинусная формула для замедления собственного времени в результате действия ускорения g_a и напряжённости g_f:
dсoshγ=gdx/c^2=dP/c^2 и сoshγ=1+int(0,x)[gdx/c^2]=1+int(0,P)[dP/c^2]=1+ΔP/c^2=1+A/E_0,
где g=c(dγ/dτ) есть внутреннее ускорение, E_0=m_0c^2 – см. в гл.5А и 9А; причём дифференциально при тангенциальном g мы имеем гиперболическое движение и при нормальном g мы имеем псевдовинтовое движение;
- вышеуказанный тригонометрический подход с потенциалами P позволяет оценивать замедление времени дифференциально и интегрально непрерывным способом, поскольку:
dct/dcτ=coshγ=1+coshγ-1=1+int(0,γ)[sinhγdγ]=1+int(0,τ)[(v^*/c)(g/c)dτ]=1+int(0,x)[gdx/c^2]=1+ΔP/c^2,
причём этим универсальным способом как для g_a, так и для g_f; такой подход исходит из математической (но не физической!) эквивалентности g_a и g_f;
- напротив, в эйнштейновской ОТО g_a и g_f принимаются эквивалентными математически и физически и даже на тензорном уровне, как символы Кристоффеля, искривляя совместно пространство-время; ниже мы покажем, что такое искривление есть излишняя операция, которая значительно усложняет Теорию Относительности; причём к гиперболическому углу движения γ мы приходим универсальным и непрерывным путём для движений как с кинематическим, так и с гравитационным ускорениями – тангенциальным и псевдовинтовым в рамках единой Теории Относительности в пространстве-времени Минковского;
- свободное релятивистское движение объекта с эквивалентными g_a и g_f (индуцирующим g_a) с удвоением замедления его собственного времени от этих двух факторов – кинематического внутреннего ускорения и напряжённости гравитационного поля.
- В частности, это приводит к удвоению ньютоновского гравитационного отклонения луча света, идущего близко от Солнца, или как бы к дополнительной эквивалентной рефракции света в гравитационном поле формально по тому же Закону Снеллиуса – по другому механизму, как при хорошо известном оптическом отклонении света электромагнитной полевой природы, что было применено нами в главе 9А при простейшей тригонометрической трактовке данного полного релятивистского эффекта без применения эйнштейновского искривления пространства-времени; следовательно, дополнительно мы получили формально тот же закон Снеллиуса для рефракции света в гравитационном поле, но в иной физической интерпретации – без изменения скорости света, но с изменением его частоты.
- В частности, это приводит к удвоению смещения перигелия Меркурия от воздействия каждого из трёх кинематических косинусных замедлений времени, т.е. в итоге к шестикратному замедлению времени с тем же гиперболическим косинусом coshγ, что в главе 9А даёт физически ясную и простейшую тригонометрическую, но релятивистскую трактовку формулы Гербера для смещения перигелия Меркурия и опять без применения Эйнштейновского искривления пространства времени.
- В частности, это объясняет однократный эффект красного смещения длины волны солнечного света на Земле, так как в данном случае, ввиду параллельности вектора напряжённости поля и направления движения света, фотоны не имеют нормального ускорения, а тангенциальное ускорение тоже равно нулю из-за постоянства скорости света, что фактически приводит только к ньютоновскому гравитационному уменьшению энергии квантов света и к простейшей квантово-механической трактовке этого эффекта без применения теории относительности – подробности обо всём этом реальном влиянии на собственное время даны в гл. 3А, 5А, 9А.
- В частности, это объясняет таким же путём удвоение теоретического радиуса “чёрной дыры” Мишеля (на основе ньютоновских теорий механики и гравитации) в сравнении с её теоретическим радиусом Шварцшильда (на основе эйнштейновской ОТО).
- Тензорно-тригонометрические модели релятивистской кинематики и динамики -- относительные и абсолютные;
- тригонометрические модели простейших релятивистских движений -- гиперболического и псевдовинтового;
- трактовка гиперболического движения в псевдоевклидовом пространстве-времени как движения по цепной линии и трактрисе в обоих Специальном квазиевклидовом пространстве-времени – гл.5А и 6А;
- пропорциональные гиперболически ортогональные тензоры импульса и энергии (энергии-импульса), производимые из тригонометрического безразмерного тензора гиперболической ротации умножением его на инварианты m_о•c и m_о•c^2;
- пропорциональный ортосферический тензор вращательного момента, производимый из тригонометрического безразмерного тензора ортосферической ротации умножением его на инвариант mo•c;
- пропорциональный псевдоевклидов ортогональный тензор полной энергии-импульса, производимый из безразмерного псевдоевклидов тензора псевдоевклидовой ротации на инвариант mo•c2;
- физическая природа абсолютного движения материи с 4-скоростью Пуанкаре "c" по её мировой линии, причём с её собственным импульсом Р_о=m_о•c и её собственной энергией Е_о=m_о•c^2, как течение её собственного времени ꚍ со скоростью "с" в том же самом направлении пространства-времени; и обратное утверждение: течение её собственного времени ꚍ как абсолютное движение материи;
- динамические полные характеристики относительного движения материи в конкретном базисе: полный импульс Р=m•c, полная энергия Е=m•c^2, -- получаемые вследствие гиперболически ортогонального проецирования абсолютного движения материи на стрелу времени ct;
- относительный импульс движения материи со скоростью v=c•tanhγ в конкретном базисе как гиперболически ортогональная проекция собственного импульса на пространство E^3, а именно p=Р_о•sinhγ=Р•tanhγ=mv и с теми же направляющими косинусами в пространстве E^3 как для векторов v, sinhγ, tanhγ;
- псевдоевклидов прямоугольный треугольник 3-х импульсов: Р_о (гипотенуза), Р и p (катеты), - подобный треугольнику, образуемому стрелами времени cꚍ и ct с гиперболическим углом γ между ними;
- псевдоевклидова теорема Пифагора для модулей импульсов: (iР_о)^2=(iР)^2+p^2, p^2=P^2-Р_о^2, из которой, в частности, легко вытекают известные релятивистские функция m(v) и формула Эйнштейна p^2=(mv)^2=(m^2-m_o^2)•c^2=(E^2-E_о^2)/c^2; то же в векторной презентации;
- динамический (с псевдоскоростью "с") 4D псевдоаналог 3D теории Френе-Серре в пространстве-времени Минковского с взаимосвязанными локальными параметрами ротации мировой линии со всеми текущими дифференциально-геометрическими параметрами мировой линии вплоть до порядка 3 при максимальном порядке её вложения "4";
- тензорно-тригонометрические релятивистские интерпретации для эффектов Доплера и для аберрации, а также для ортопрецессии Томаса; угловая скорость этой ортопрецесии и её связь с ускорением Кориолиса материального объекта при его неколлинеарном движении в псевдоевклидовом пространстве-времени Минковского.
Здесь следует аргументировать позицию автора, изложенную им в дискуссионной главе 9А. В ней математическое описание релятивистских движений объекта было подразделено на реальное движение – локально по месту событий и наблюдаемое движение – удалённо по месту их фиксации, причём с весьма значительной разницей в потенциале гравитационного поля в этих местах. В ОТО Альберта Эйнштейна это математическое описание выполняется согласно изменяющимся значениям метрического тензора пространства-времени, формируемого гравитационным полем и инерцией объекта (G-поле). Но наблюдаемое отображение движений принимается как реальное движение во всех дальнейших выводах. Это есть позитивистская точка зрения, идущая от воззрений Эрнста Маха в его труде “Die Mechanik in ihrer Entwickelung historisch-kritisch dargestellt. – 1904”. В ОТО прямая линия — это траектория луча света, поскольку в космических масштабах ее фактически не к чему привязать. Эта идея с использованием световых лучей принадлежит создателям неевклидовой геометрии. Карл Гаусс даже пытался проверить это со своими учениками на треугольнике из трех горных вершин. Однако в ОТО гравитационное воздействие на движущиеся фотоны от космических объектов искривляет не только их путь, но и также само физико-математическое пространство-время. Главные противоречия в таком подходе следующие.
- Реальное и удалённо фиксируемое описания одного и того же движения должны неминуемо отличаться, так как в месте наблюдения гравитационное поле совсем иное, т.е. информация о реальном движении доходит к внешнему наблюдателю через гравитационную линзу.
- В искривлённом псевдоримановом пространстве-времени ОТО нет полной группы движений, а, следовательно, нет однозначности отображения движений в различных координатных базисах.
- Электрически и магнитно искривлённые лучи света не считаются прямыми линиями и не искривляют пространство-время. Так, луч света искривляется не только в гравитационном поле, но и под воздействием полей, создаваемых электрическими зарядами и магнитными диполями. В силу того, что абсолютная электрическая и магнитная проницаемости на много порядков превышают гравитационную постоянную в сходных единицах СГС, эти искривления луча наблюдаются даже в земных условиях в средах с переменным показателем преломления, что при искривлении пространства вызвало бы полный декаданс в его описании
- Более широко, в ОТО нет ответа на кардинальный вопрос: почему пространство-время должно искривляться в гравитационном поле, но не искривляется в других физических полях?
- Отсюда по-прежнему имеется несовместимость ОТО и Квантовой механики, действующей согласно Полю Дираку в пространстве-времени Минковского.
- Имеется неминуемое нарушение фундаментального закона сохранения энергии-импульса материи, согласно теореме Амалии Нётер, в силу искривления пространства-времени с нарушением его изотропии и однородности. Это же порождает теоретические искушения для производства материи и энергии из ничего как новейший вид perpetuum mobile.
- Согласно ОТО, в гравитационном поле пространственные материальные объекты (например, космологические) также должны искривляться без воздействия каких-либо сил природы.
- Что делать с многими другими классическими Законами Природы, формулами и теориями, сформулированными во времени и пространстве - надо их также искривлять с учётом гравитации? И ещё многое-многое другое.
- Отметим, в гл.9А мы обосновали, что локальная скорость света в гравитационном поле не изменяется и равна “c”. Поэтому, согласно Тензорной Тригонометрии, под воздействием гравитации, луч света может искривляться только на боковой ортосферический угол θ или dθ с его евклидовой природой, так как гиперболическое искривление мировой линии всегда должно изменять скорость “v” (но здесь tanh γ=1=const). Этот вывод был продемонстрирован нами при оценке с тригонометрическим подходом искривления луча света в районе Солнца. В направлении луча скорость света не изменялась, но частота фотонов изменялась. (Как бы второе искривление луча формально соответствует Закону Снеллиуса, но по другим причинам: в оптической среде меняется скорость света и его длина волны при постоянной частоте.) Но раз гиперболическое искривление света в гравитационном поле отсутствует, то, даже если искривлять пространство-время вместе с лучом света, то новое пространство время остаётся опять псевдоевклидовым, но повёрнутым на θ или dθ! Зачем нужно искривлять пространство-время, хотя достаточно искривить ортосферически только траекторию светового луча? Тогда все отмеченные выше противоречия ОТО исчезают, а СТР без поля и с полем гравитации остаётся. И её мы называем Теория Относительности, как это сделал великий Макс Планк.
- Итак, в 4D пространстве-времени Минковского, ортосферические евклидовы ротации мировой линии фотонов, искривляющие луч света со степенью свободы 3 под удвоенным действием гравитации, не нарушают священный принцип теории относительности – постоянство скорости света. И такое единственно возможное искривление луча света никак не влияет на пространство-время. Если луч света направлен вдоль вектора напряжённости поля, то искривление луча света отсутствует, но его частота изменяется. С другой стороны, мировые линии материальных тел могут искривляться как ортосферически, так и гиперболически с суммарной степенью свободы 3 – см. ниже.
- Анализ значительно более чётких снимков галактик, получаемых с 2024г с нового дальнего космического телескопа Джеймс Уэбб, всё более свидетельствует в пользу полной изотропии и однородности нашего 4-х мерного пространства-времени Природы и о его видимой плоской геометрической структуре. Однако, разумеется, искривить можно любое изображение Мира - достаточно на него посмотреть через оптическую линзу или теоретически через гравитационную линзу. Но всё такое только усложняет описание движений и объектов в дальнем космосе и дополнительно, с увеличением расстояний до них, приводит к ошибочным выводам. Если все известные и новые релятивистские эффекты объясняются логично в плоском пространстве Пуанкаре и Минковского и с полным соответствием Закону сохранения энергии-импульса и Законам Квантовой механике, то зачем тогда вводить гравитационное искривление пространства-времени как реальный факт? Кстати, это искривление пространства-времени не объясняет истинную физическую природу гравитации. Эта загадка остаётся, возможно, до создания всеобъемлющей теории гравитации, например, в рамках полевой концепции, не противоречащей фундаментальным Законам Природы.
- Нормальная часть полного дифференциала вращения Dф или Dγ отличается от бокового дифференциала ортосферического вращения dθ тем, что она является ортопроекцией последнего на евклидово подпространство. В квазиевклидовом пространстве эта ортопроекция действует под сферическим углом, в псевдоевклидовом пространстве эта ортопроекция действует под гиперболическим углом. Следовательно, в пространстве-времени Минковского нормальная проекция движения материального объекта по мировой линии не является евклидовой, но боковая ортосферическая ротация dθ всегда чисто евклидова. Имеется аналогия как бы с генеральной теоремой Менье.
- О разложениях метрической формы абсолютного ангулярного движения Dф или Dγ в бинарных пространствах на параллельную и нормальную части с Абсолютными и Относительными теоремами Пифагора и с сопутствующими тригонометрическими объектами (единичный гиперсфероид или единичные гиперболоиды) см. в последней 10А.
5. Формальный комплексный анализ.
- Формальная аналитичность неголоморфных функций (комплексных и вещественных) от комплексных сопряжённых аргументов (одномерных и многомерных).
- Формальные дифференцирование и интегрирование.
- Формальные степенные ряды и полнота дифференциала.
6. Дифференциальный анализ и методы оптимизации эволюционных целевых функций.
- Аналитическая оптимизация функции от скалярной переменной.
- Аналитическая безусловная оптимизация функции от векторной переменной.
- Аналитическая условная оптимизация функции от векторной переменной – либо зависимой от каких-нибудь параметров, либо ограниченной какими-нибудь уравнениями связи.
- Аналитическая условная оптимизация предельными методами с малым и большим параметрами, связанными между собой.
- Точное характеристическое (вековое) уравнение для условных собственных значений матрицы Гессе от функции 2-го порядка при линейно связанных её аргументах.
- Попутно: изопараметрические многочлены (в т.ч. зеркальные), дифференциальные инварианты порядка 2 и более для плоских кривых y(x), x(y);
- решение задачи Ньютона о связи коэффициентов прямого и обратного степенных рядов, эквивалентной задаче о связи производных любого порядка для прямой и обратной ей аналитических функций;
- аналитическая оптимизация для неголоморфных функций от комплексных сопряжённых или от смешанных переменных с применением операций формального комплексного анализа;
- одномерная численная оптимизация 0-го, 1-го и 2-го порядков;
- итерационные методики оптимизации;
- одномерный метод Ньютона 2-го порядка и его разностные аналоги;
- многомерная аналитическо-численная оптимизация 0-го, 1-го и 2-го порядков;
- покоординатный метод Зейделя 0-го порядка;
- градиентный метод Коши 1-го порядка с заданным шагом;
- модификация методом скорейшего спуска или восхождения 1-го порядка;
- квадратичный метод неполного 2-го порядка с вычисляемым шагом;
- модификация методом скорейшего спуска или восхождения неполного 2-го порядка;
- многомерный метод Ньютона 2-го порядка с вычисляемым шагом;
- модификация методом скорейшего спуска или восхождения 2-го порядка;
- независимость эффективности методов 2-го порядка от изначально выбираемых масштабов по осям или от размерностей параметров;
- многомерная аналитическо-численная условная оптимизация 0-го, 1-го и 2-го порядков;
- методы нормальных проекций 1-го и 2-го порядков;
- связанные между собой методы с большим и малым параметрами (первый из них есть метод штрафных функций Куранта);
- планово-вычислительные методы оптимизация 1-го, неполного 2-го и 2-го порядков на основе выбранного плана расположения точек аргумента для вычисления в них значений функции и метода конечных разностей для оценки в них первых и вторых частных производных функции;
- критерий адекватности для планово-разностных моделей;
- многомерные методы планово-экспериментальной оптимизации 1-го, неполного 2-го и 2-го порядков; вообще, это более хорошо известно под именем «Планирование эксперимента на факторном пространстве», когда оптимизация некоторой скалярной целевой функции отклика реализуется через поиск оптимальных значений влияющих значимых факторов (в случае нормального распределения ошибки нахождения значений этой функции отклика при точных заданных значениях её факторов-аргументов);
- планово-экспериментальная оптимизация некоторой функции отклика порядков: 1-го (метод скорейшего спуска или восхождения Бокса), неполного 2-го (квадратичный метод) и 2-го (метод Бокса-Уилсона); точные формулы и значения для всех сопутствующих параметров плана Бокса-Уилсона;
- вероятностная оценка вклада систематической ошибки в её сумме с экспериментальной ошибкой;
- критерий адекватности для планово-экспериментальных моделей;
- генезис всех этих методов оптимизации и их последовательная взаимосвязь.
7. Математическая химия.
- Математическое моделирование химических реакций, обобщённая кинетическая функция;
- моделирование химической реакции одного моно- и одного полифункционального соединений - последнее со всеми исходно тождественно-активными функциональными группами и с поэтапным падением их активности;
- кинетические кривые как графики функций и как функционалы (в т.ч. функции отклика в планово-экспериментальной оптимизации параметров некоторой химической реакции);
- кинетические изотермы и изохроны, теория и применение;
- прямая и косвенная кинетика;
- кинетика 3х мерного отверждения реактопластов или эластомеров (композитов) в изотермическом и изохронном температурных режимах; характеристическая температура 3D структурирования;
- крутильная косвенная кинетика отверждения (по методу Льюиса-Гиллхэма) в соответствии с изменением модуля сдвига, согласно периодам свободных крутильных колебаний; вычисление декремента колебаний через отношение последовательных угловых секторов колебаний по и против часовой стрелки.
==========================================================================
==========================================================================
Ниже автор излагает его позицию по ряду смежных вопросов касательно приведенных научных работ, выполненных конкретно самим автором.
==========================================================================
N.B.! Исключительные авторские права, исходные файлы статей и оригиналы вёрсток с дизайном моих книг в данное время имеются только у автора. Однако моя авторская воля состоит в том, чтобы указанные материалы могли бы использоваться сейчас и тогда, когда автора как любого человека уже не будет, т.е. всегда, в чисто научных целях, а его книги распространяться без ограничений, в том числе через электронные и другие научные библиотеки. Для подлинных людей науки, разумеется, есть непреложное правило: любое использование или цитирование оригинальных частей научных работ в своих публикациях должно сопровождаться ссылками по месту их заимствования. Какое-либо камуфлирование чужих результатов с изложением их в иной форме и без ссылки на оригинал вдвойне категорически не приемлемо. Автор в данных монографиях старался добросовестно ссылаться на ставшие ему известными труды предшественников или хотя бы на учебную литературу по теме, так как весьма щепетильно относится к подобным вопросам. Если же кто-нибудь полагает, что какие-то аналогичные идеи ранее фигурировали в каких-то публикациях других авторов, то убедительная просьба сообщить об этом на данный веб-сайт или в мою Е-почту. Хорошо известно, что даже гениальные идеи бывают сходными и близкими по времени появления. Весьма характерные примеры - это полифонические истории зарождения и формирования неевклидовой геометрии и теории относительности. По крайней мере, на текущий 2021 год автор за время после публикаций своих книг не получил каких-либо подобных замечаний ни на данный сайт, ни в его Е-почту. Однако автору известно о примерах явного и камуфлированного плагиата некоторых его математических формул и даже книги в целом. Они были опубликованы некоторыми издательствами - от мало известных до очень известного в мире математического издательства. Этот веб-сайт, в частности, служит средством для обоснования приоритета автором в настоящее время и другими в будущем.
==========================================================================
Дата последнего обновления: 08 мая 2025г.
==========================================================================
Далее следуют активные ссылки на различные разделы моего веб-сайта:
Гостевая книга (Invitation book)
Large English version of this web-site
Compact English version of this web-site
==========================================================================
Данная монография, как её первое издание, с изложением этого нового предмета математики была переведена на английский язык (который в настоящее время является международным языком в научной среде, особенно в области точных наук) и опубликована как её второе издание в начале 2021г в Издательстве "Физматлит" и как её третье и последнее при жизни автора издание в начале 2025г в Издательстве "Физматкнига", разумеется, как значительно обновлённые и расширенные. Ниже они даны в общепринятой ныне форме p-book и e-book (от 2025г со своими ISBN и DOI) в обычном файле pdf из программы TEX и в транслированном из него стандартном архивированном файле pdf/A:
Comments: Some Novelties in_the_book Tensor Trigonometry with exposition and development of this new subject of Mathematics
==========================================================================
Pdf файл книги Нинул А. С. "Оптимизация целевых функций. Аналитика. Численные методы. Планирование эксперимента." – Москва: Физматлит, 2009, 336с. (Russian e-book, формат А5)
==========================================================================
6 математических статей автора по тематикам книг "Тензорная тригонометрия" и "Оптимизация целевых функций", неопубликованных прежде в советских академических математических журналах без “аффилиации” (в советские годы 1982-1989)
==========================================================================
МЦНМО – Московский Центр непрерывного математического образования. ЭБ Free books.
Pdf файл книги Нинул А. С. "Тензорная тригонометрия. Теория и приложения." – М.: МИР, 2004. – В ЭБ МЦНМО (с 17.04.2006)
==========================================================================
Московский Государственный университет (МГУ). ЭБ Механико-Математического факультета.
Pdf файл книги Нинул А. С. "Оптимизация целевых функций. Аналитика. Численные методы. Планирование эксперимента." – М.: Физматлит, 2009. – В этой ЭБ с 26.11.2010.)
==========================================================================
Jpg сжатый файл Фронтальной обложки книги Нинул А. С. "Тензорная тригонометрия" (перетащить мышкой с экрана)
==========================================================================
Jpg сжатый файл Фронтальной обложки книги Ninul A. S. “Tensor Trigonometry.” – Moscow: Publisher Fizmatlit, 2021. (перетащить мышкой с экрана)
==========================================================================
Jpg файл Фронтальной обложки книги Ninul A. S. “Tensor Trigonometry.” – Moscow: Publisher Fizmatkniga, 2025. (перетащить мышкой с экрана)
==========================================================================
Jpg сжатый файл Фронтальной обложки книги Нинул А. С. "Оптимизация целевых функций" – Moscow: Publisher Fizmatlit, 2021. (перетащить мышкой с экрана)
==========================================================================
Небольшой фотоальбом
==========================================================================
P.S.: My Russian professional web-site in Chemical fields
==========================================================================
|
1. Послания только для автора передаются на E-mail: NinulAS@yandex.ru
2. Вопросы для обсуждения с автором при возможности доступа к информации других посетителей сайта передаются на Гостевую книгу. Работает премодерация. ========================================================================== Авторские права распространяются как на вышеуказанные книги и их фрагменты, так и на данный веб-сайт! ========================================================================== |
